TO‘G‘RI CHIZIQNING YO‘NALISH VEKTORI VA TEKISLIKNING NORMAL VEKTORI O‘RTASIDAGI BOG‘LANISH
Keywords:
Kalit so‘zlar: yo‘nalish vektori, normal vektor, invariant shart, skalyar ko‘paytma, fazoviy geometriya, kesishish, parallel chiziq., Ключевые слова: направляющий вектор, нормальный вектор, инвариантное условие, скалярное произведение, пространственная геометрия, пересечение, параллельность прямой и плоскости., Keywords: direction vector, normal vector, invariant condition, scalar product, spatial geometry, intersection, line–plane parallelism.Abstract
Annotatsiya: Ushbu ilmiy maqolada fazoda to‘g‘ri chiziq yo‘nalish vektori bilan tekislikning normal vektori o‘rtasidagi geometrik va algebraik bog‘lanish chuqur tahlil qilinadi. Ularning o‘zaro joylashuv holatlarini aniqlashda invariant vektor munosabatlari, xususan skalyar ko‘paytma va tekislik tenglamasini qanoatlantirish sharti asosida ishonchli mezonlar ishlab chiqiladi. Isbotlar fazoviy proyeksiya, ortogonallik va vektorlar normasi asosida kengaytirilgan matematik usullar bilan olib boriladi. Natijalar mexanika, qurilish muhandisligi, robototexnika, navigatsiya, 3D modellashtirish va funktsional geometriya sohalarida tatbiq etilishi mumkin.
Аннотация: В данной научной статье подробно исследуется геометрическая и алгебраическая связь между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости в пространстве. На основе инвариантных векторных соотношений, в частности скалярного произведения и выполнения уравнения плоскости, формулируются надёжные критерии определения взаимного расположения прямой и плоскости. Доказательства проводятся с использованием расширенных математических методов — пространственной проекции, ортогональности и нормы векторов. Полученные результаты имеют широкое применение в механике, строительной инженерии, робототехнике, навигации, 3D-моделировании и функциональной геометрии.
Abstract: This scientific article provides an in-depth analysis of the geometric and algebraic relationship between the direction vector of a line and the normal vector of a plane in three-dimensional space. Based on invariant vector relations—specifically, the scalar product and the satisfaction of the plane equation—reliable criteria for determining the spatial configuration between a line and a plane are formulated. The proofs rely on advanced mathematical tools, including spatial projection, orthogonality, and vector norm analysis. The results obtained can be effectively applied in mechanics, civil engineering, robotics, navigation, 3D modeling, and functional geometry.
