TO‘PLAMLARNING TO‘G‘RI KO‘PAYTMASINING XOSSALARI

Abstract

Anotatsiya (O‘zbekcha):To‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi, shuningdek, Kartesian ko‘paytma deb ataladi, to‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchasi bo‘lib, ikki yoki undan ortiq berilgan to‘plamlardan yangi to‘plamni tartibli juftliklar yoki tyuplar orqali hosil qiladi. A × B = {(a, b) | a ∈ A va b ∈ B} deb taʼriflanadi, bu elementlarning tartibli xususiyatini taʼkidlaydi va boshqa to‘plam operatsiyalaridagi tartibsiz juftliklardan farqlanadi. Asosiy xossalar orasida kommutativ bo‘lmaslik mavjud, yaʼni A × B ≠ B × A, agar A = B bo‘lmasa; masalan, A = {1, 2}, B = {x, y} bo‘lsa, A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}, B × A esa {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)} ga teng. Shuningdek, assotsiativ bo‘lmaslik xossasi mavjud, yaʼni (A × B) × C ≠ A × (B × C) tuzilishda, ammo ular izomorf; A = {a}, B = {b}, C = {c} misolida birinchisi {((a, b), c)}, ikkinchisi {(a, (b, c))} beradi, lekin ikkalasi biyektiv ravishda moslashtirilishi mumkin. Distributivlik birlashma, kesishma va ayirma ustida saqlanadi: A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), masalan, A = {1}, B = {2}, C = {3} da A × (B ∪ C) = {(1, 2), (1, 3)} ko‘paytmalar birlashmasiga mos keladi. Sonlilik multiplikativ, chekli to‘plamlar uchun |A × B| = |A| × |B|, masalan, |{1, 2}| × |{x, y}| = 4. Agar bitta to‘plam bo‘sh bo‘lsa, ko‘paytma bo‘sh bo‘ladi, masalan, A × ∅ = ∅. Ushbu xossalar diskret matematika va to‘plamlar nazariyasining asosiy matnlaridan olingan bo‘lib, koordinatalar geometriyasi, munosabatlar va algebraik tuzilmalarda qo‘llaniladi. 

Abstract (English):The Cartesian product, also known as the direct product of sets, is a fundamental concept in set theory that constructs a new set from two or more given sets by forming ordered pairs or tuples. Defined as A × B = {(a, b) | a ∈ A and b ∈ B}, it emphasizes the ordered nature of elements, distinguishing it from unordered pairs in other set operations. Key properties include non-commutativity, where A × B ≠ B × A unless A = B, as the order of components matters; for instance, if A = {1, 2} and B = {x, y}, then A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}, while B × A = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)}. It is also non-associative, meaning (A × B) × C ≠ A × (B × C) in structure, though they are isomorphic; consider A = {a}, B = {b}, C = {c}, where the former yields {((a, b), c)} and the latter {(a, (b, c))}, yet both can be mapped bijectively. Distributivity holds over union, intersection, and difference: A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), exemplified by A = {1}, B = {2}, C = {3} resulting in A × (B ∪ C) = {(1, 2), (1, 3)} matching the union of products. Cardinality is multiplicative, |A × B| = |A| × |B| for finite sets, such as |{1, 2}| × |{x, y}| = 4. If one set is empty, the product is empty, e.g., A × ∅ = ∅. These attributes, drawn from foundational texts in discrete mathematics and set theory, underpin applications in coordinate geometry, relations, and algebraic structures.

Аннотация (Русский):Прямое произведение множеств, также известное как декартово произведение, является фундаментальным понятием в теории множеств, которое строит новое множество из двух или более данных множеств путем формирования упорядоченных пар или кортежей. Определяется как A × B = {(a, b) | a ∈ A и b ∈ B}, подчеркивая упорядоченную природу элементов, отличающуюся от неупорядоченных пар в других операциях над множествами. Ключевые свойства включают некоммутативность, где A × B ≠ B × A, если A ≠ B; например, если A = {1, 2}, B = {x, y}, то A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}, в то время как B × A = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)}. Оно также неассоциативно, то есть (A × B) × C ≠ A × (B × C) по структуре, хотя они изоморфны; рассмотрим A = {a}, B = {b}, C = {c}, где первое дает {((a, b), c)}, а второе {(a, (b, c))}, но оба могут быть биективно отображены. Дистрибутивность сохраняется над объединением, пересечением и разностью: A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C), например, для A = {1}, B = {2}, C = {3} A × (B ∪ C) = {(1, 2), (1, 3)}, совпадающее с объединением произведений. Мощность мультипликативна, |A × B| = |A| × |B| для конечных множеств, как |{1, 2}| × |{x, y}| = 4. Если одно множество пустое, произведение пусто, например, A × ∅ = ∅. Эти свойства, заимствованные из базовых текстов по дискретной математике и теории множеств, лежат в основе приложений в координатной геометрии, отношениях и алгебраических структурах.